Sužinok, kaip apskaičiuoti kvadratinės lygties diskriminantą, nustatyti šaknų skaičių ir rasti lygties sprendinius formule.
Ką reikia suprasti
Diskriminantas padeda nustatyti, kiek kvadratinė lygtis turi realiųjų sprendinių. Sužinok, kaip jį apskaičiuoti ir kaip pagal jo reikšmę rasti lygties šaknis.
Kvadratinės lygties pavidalas
Kvadratinė lygtis su vienu nežinomuoju užrašoma taip:
ax² + bx + c = 0, kur a ≠ 0.
Skaičiai a, b ir c vadinami lygties koeficientais. Jie imami su savo ženklais. Pavyzdžiui, lygtyje x² − 5x + 6 = 0 yra a = 1, b = −5, c = 6.
Prieš skaičiuodamas diskriminantą, lygtį sutvarkyk taip, kad vienoje pusėje būtų ax² + bx + c, o kitoje – 0.
Diskriminanto formulė
Kvadratinės lygties diskriminantas žymimas raide D ir apskaičiuojamas taip:
D = b² − 4ac
Diskriminanto reikšmė parodo, kiek lygtis turi realiųjų sprendinių:
- jei D > 0, lygtis turi dvi skirtingas realiąsias šaknis;
- jei D = 0, lygtis turi vieną realiąją šaknį;
- jei D < 0, lygtis neturi realiųjų šaknų.
Kai D ≥ 0, šaknis randame formule:
x₁ = −b − √D2a x₂ = −b + √D2a
Jei D = 0, abi formulės duoda tą pačią šaknį. Jei D < 0, realiųjų skaičių aibėje kvadratinės šaknies iš D apskaičiuoti negalime, todėl realiųjų sprendinių nėra.
Kaip spręsti kvadratinę lygtį diskriminantu
- Sutvarkyk lygtį ir užrašyk standartiniu pavidalu ax² + bx + c = 0.
- Nustatyk a, b ir c, atkreipdamas dėmesį į jų ženklus.
- Apskaičiuok D = b² − 4ac.
- Pagal D reikšmę nuspręsk, kiek lygtis turi realiųjų šaknų.
- Jei D ≥ 0, įstatyk koeficientus į šaknų formulę.
- Patikrink gautas šaknis įstatydamas jas į pradinę lygtį.
Kaip spręsti žingsniais
Kaip spręsti žingsniais
1 pavyzdys. Lygtis turi dvi šaknis
x² − 5x + 6 = 0
Nustatome koeficientus:
a = 1, b = −5, c = 6
Apskaičiuojame diskriminantą:
D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Kadangi D > 0, lygtis turi dvi skirtingas realiąsias šaknis.
x₁ = −(−5) − 2 · 1 = 5 − 12 = 2
x₂ = −(−5) + 2 · 1 = 5 + 12 = 3
Patikriname: 2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0; 3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0.
Ats.: x₁ = 2, x₂ = 3.
2 pavyzdys. Lygtis turi vieną šaknį
2x² + 4x + 2 = 0
Nustatome koeficientus:
a = 2, b = 4, c = 2
Apskaičiuojame diskriminantą:
D = 4² − 4 · 2 · 2 = 16 − 16 = 0
Kadangi D = 0, lygtis turi vieną realiąją šaknį. Taikome formulę:
x = −42 · 2 = −44 = −1
Patikriname: 2 · (−1)² + 4 · (−1) + 2 = 2 − 4 + 2 = 0.
Ats.: x = −1.
3 pavyzdys. Lygtis neturi realiųjų šaknų
x² + 2x + 5 = 0
Nustatome koeficientus:
a = 1, b = 2, c = 5
Apskaičiuojame diskriminantą:
D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16
Kadangi D < 0, lygtis neturi realiųjų šaknų.
Ats.: realiųjų sprendinių nėra.
4 pavyzdys. Sudarykime kvadratinę lygtį pagal uždavinio sąlygą
Stačiakampio kraštinės yra x cm ir x + 3 cm. Stačiakampio plotas lygus 40 cm². Raskime jo kraštines.
Kadangi stačiakampio plotas yra kraštinių sandauga, sudarome lygtį:
x(x + 3) = 40
Išskleidžiame skliaustus ir užrašome standartiniu pavidalu:
x² + 3x − 40 = 0
Nustatome koeficientus:
a = 1, b = 3, c = −40
Apskaičiuojame diskriminantą:
D = 3² − 4 · 1 · (−40) = 9 + 160 = 169
Kadangi D > 0, lygtis turi dvi šaknis:
x₁ = −3 − 2 = −3 − 132 = −8
x₂ = −3 + 2 = −3 + 132 = 5
Kraštinės ilgis negali būti neigiamas, todėl x = −8 netinka. Lieka x = 5, o kita kraštinė yra x + 3 = 8.
Patikriname plotą: 5 · 8 = 40 cm².
Ats.: stačiakampio kraštinės yra 5 cm ir 8 cm.
Dažnos klaidos ir patarimai
- Pirmiausia užrašyk standartinį lygties pavidalą. Diskriminanto formulę taikyk tik tada, kai vienoje pusėje yra 0.
- Koeficientus pasiimk su ženklais. Lygties x² − 5x + 6 = 0 koeficientas yra b = −5, o ne 5.
- Nepraleisk skliaustų skaičiuodamas b². Jei b = −5, tai b² = (−5)² = 25.
- Teisingai pritaikyk ženklų taisyklę skaičiuodamas −4ac. Kai c yra neigiamas, sandauga gali tapti teigiama.
- Nesupainiok diskriminanto su šaknimis. D padeda nustatyti sprendinių skaičių; pačios šaknys randamos formule.
- Formulės vardiklyje rašyk 2a. Vardiklis yra visa sandauga 2 · a.
- Tekstiniame uždavinyje patikrink, ar šaknis tinka sąlygai. Ilgis, plotas ar žmonių skaičius negali būti neigiamas.
Trumpai įsimink
- Standartinis pavidalas: ax² + bx + c = 0, kur a ≠ 0.
- Diskriminantas: D = b² − 4ac.
- D > 0 – dvi šaknys; D = 0 – viena šaknis; D < 0 – realiųjų šaknų nėra.
- Kai D ≥ 0, šaknis apskaičiuok formule ir patikrink.
Reikia papildomos pagalbos?
Jei tema vis dar neaiški, gali registruotis pamokai ir ją pereiti žingsnis po žingsnio.
Jei ši tema vis dar neaiški, gali registruotis pamokai ir viską pereiti žingsnis po žingsnio.