Sužinok, kas yra tiesinių lygčių sistema ir kaip rasti skaičių porą, tenkinančią abi lygtis. Paaiškiname sprendimo būdus ir pateikiame pavyzdžių.
Ką reikia suprasti
Tiesinių lygčių sistema – tai kelios lygtys su tais pačiais nežinomaisiais, kurias reikia spręsti kartu. Sistemos sprendinys turi tikti kiekvienai jos lygčiai.
Ką reikia suprasti
Tiesinėje lygtyje su dviem nežinomaisiais dažnai naudojamos raidės x ir y. Pavyzdžiui:
x + y = 5
Šią lygtį tenkina ne viena skaičių pora: tinka (1; 4), (2; 3) ir (3; 2). Kai turime dvi tokias lygtis ir ieškome poros, kuri tinka abiem, gauname lygčių sistemą.
Pavyzdžiui:
x + y = 5 2x − y = 4
Porą (3; 2) įrašę į pirmą lygtį gauname 3 + 2 = 5, o į antrą – 2 · 3 − 2 = 4. Vadinasi, (3; 2) yra šios sistemos sprendinys.
Lygčių sistemos sprendinys užrašomas skaičių pora (x; y). Pirmasis skaičius nurodo x reikšmę, antrasis – y reikšmę.
Kaip galima spręsti sistemą
Tą pačią sistemą galima išspręsti keliais būdais.
Grafinis būdas
- Kiekvieną lygtį pavaizduok tiesės grafiku koordinačių plokštumoje.
- Rask tiesių susikirtimo tašką.
- Susikirtimo taško koordinatės yra sistemos sprendinys.
Jeigu tiesės susikerta viename taške, sistema turi vieną sprendinį. Jei tiesės lygiagrečios ir nesutampa, sprendinių nėra. Jei abi lygtys aprašo tą pačią tiesę, sprendinių yra be galo daug.
Keitimo būdas
- Vienoje lygtyje išreikšk x arba y.
- Gautą reiškinį įrašyk į kitą lygtį vietoj to paties nežinomojo.
- Išspręsk gautą lygtį su vienu nežinomuoju.
- Rask kitą nežinomąjį ir patikrink porą abiejose pradinėse lygtyse.
Sudėties būdas
- Lygtis surašyk vieną po kita, kad vienodų nežinomųjų nariai būtų stulpelyje.
- Jei reikia, vieną arba abi lygtis padaugink iš tokio skaičiaus, kad sudėjus lygtis vienas nežinomasis panaikėtų.
- Išspręsk likusią lygtį.
- Rask antrą nežinomąjį ir patikrink gautą porą.
Sulyginimo būdas
- Abiejose lygtyse išreikšk tą patį nežinomąjį.
- Sulygink gautus reiškinius.
- Išspręsk lygtį su vienu nežinomuoju.
- Rask kitą nežinomąjį ir patikrink sprendinį.
Kaip spręsti žingsniais
Kaip spręsti žingsniais
1 pavyzdys. Patikrinkime, ar pora tinka sistemai
Ar pora (3; 2) yra sistemos sprendinys?
x + y = 5 2x − y = 4
Įrašome x = 3, y = 2 į pirmą lygtį:
3 + 2 = 5
Lygybė teisinga. Patikriname antrą lygtį:
2 · 3 − 2 = 6 − 2 = 4
Ir ši lygybė teisinga, todėl pora tinka abiem lygtims.
Ats.: (3; 2) yra sistemos sprendinys.
2 pavyzdys. Išspręskime sudėties būdu
2x + y = 7 x − y = 2
Sudėję lygtis panaikiname y:
3x = 9
x = 3
Įrašome x = 3 į antrą lygtį:
3 − y = 2
y = 1
Patikriname pirmoje lygtyje: 2 · 3 + 1 = 7. Antroje: 3 − 1 = 2.
Ats.: (3; 1).
3 pavyzdys. Išspręskime keitimo būdu
x + y = 6 2x − y = 3
Pirmoje lygtyje išreiškiame y:
y = 6 − x
Šį reiškinį įrašome į antrą lygtį vietoj y:
2x − (6 − x) = 3
Atkreipiame dėmesį į skliaustus:
2x − 6 + x = 3
3x = 9
x = 3
Tuomet y = 6 − 3 = 3. Patikriname: 3 + 3 = 6 ir 2 · 3 − 3 = 3.
Ats.: (3; 3).
4 pavyzdys. Išspręskime sulyginimo būdu
x + y = 6 x − y = 2
Abiejose lygtyse išreiškiame x:
x = 6 − y x = 2 + y
Sulyginame dešiniąsias puses:
6 − y = 2 + y
4 = 2y
y = 2
Įrašome y = 2 į lygtį x + y = 6:
x + 2 = 6, todėl x = 4.
Ats.: (4; 2).
5 pavyzdys. Sudarykime lygčių sistemą pagal uždavinio sąlygą
Ūkyje yra vištų ir triušių. Iš viso yra 12 gyvūnų ir 32 kojos. Kiek yra vištų ir kiek triušių?
Vištų skaičių pažymime x, triušių skaičių – y. Pagal gyvūnų skaičių gauname:
x + y = 12
Višta turi 2 kojas, o triušis – 4, todėl pagal kojų skaičių gauname:
2x + 4y = 32
Pirmą lygtį padauginame iš −2:
−2x − 2y = −24
Ją sudedame su antrąja lygtimi:
2y = 8, todėl y = 4.
Iš pirmos lygties:
x + 4 = 12, todėl x = 8.
Patikriname: 8 + 4 = 12, o 2 · 8 + 4 · 4 = 16 + 16 = 32.
Ats.: ūkyje yra 8 vištos ir 4 triušiai.
Dažnos klaidos ir patarimai
- Sprendinys turi tikti abiem lygtims. Patikrinus tik vieną sistemos lygtį, dar nežinome, ar pora yra sprendinys.
- Laikykis poros tvarkos. Užrašas (3; 1) reiškia x = 3, y = 1.
- Sudėties būdu panaikink narį visoje lygtyje. Jei lygtį daugini iš skaičiaus, padaugink kiekvieną jos narį.
- Saugokis minuso prieš skliaustus. −(6 − x) = −6 + x, o ne −6 − x.
- Keitimo būdu įrašyk reiškinį į visą kitą lygtį. Jei keiti y į 6 − x, nepamiršk skliaustų, kai prieš y yra minuso ženklas.
- Grafike sprendinys yra susikirtimo taško koordinatės. Pirmiausia užrašyk x koordinatę, tada y.
Trumpai įsimink
- Sistemos sprendinys turi tenkinti abi lygtis.
- Sistemą galima spręsti grafiniu, keitimo, sudėties arba sulyginimo būdu.
- Radęs skaičių porą, patikrink ją abiejose pradinėse lygtyse.
Jei ši tema vis dar neaiški, gali registruotis pamokai ir viską pereiti žingsnis po žingsnio.